Teorema de Bayes: qué es

El teorema de Bayes es una herramienta fundamental en la teoría de la probabilidad y la estadística, utilizada para calcular la probabilidad condicional de un evento basado en información previa. Formulado por el matemático británico Thomas Bayes, su aplicación se extiende más allá de la estadística, abarcando disciplinas como la medicina, las finanzas y la inteligencia artificial. Su capacidad para actualizar probabilidades a medida que se incorpora nueva información lo convierte en un método esencial para el modelado predictivo y la toma de decisiones en distintos ámbitos. Sigue leyendo para conocer más a detalle qué es es el teorema de Bayes, su fórmula y aplicaciones.

Puntos clave

• El teorema de Bayes calcula la probabilidad de un evento basándose en información previa.
• Se aplica en finanzas, medicina, aprendizaje automático y más.
• El teorema de Bayes es útil para predecir eventos y tomar decisiones basadas en datos previos.
• Se usa para evaluar riesgos, clasificar información y optimizar procesos.

¿Qué es el teorema de Bayes?

En estadísticas y teoría de la probabilidad, el teorema de Bayes es una fórmula matemática que se usa para determinar la probabilidad condicional de eventos. Básicamente el teorema de Bayes describe la probabilidad de un evento en función del conocimiento previo de las condiciones que podrían ser relevantes para el evento.

Debe su nombre al matemático Thomas Bayes, quien descubrió la fórmula en 1973 y se considera la base del enfoque de interferencia estadística especial, llamado inferencia de Bayes. Además de la estadística, el teorema de Bayes se usa en otras disciplinas como la medicina y la farmacología, así como en diferentes campos de las finanzas. Algunas de sus aplicaciones incluyen pronosticar la probabilidad de éxito de una inversión, modelar el riesgo de prestar dinero a los prestatarios; entre otras.

Entendiendo el teorema de Bayes

El teorema de Bayes, también conocido como regla de Bayes o teorema bayesiano, es una medida de probabilidad propuesta por el matemático británico Thomas Bayes. Sus hallazgos fueron recopilados en el ensayo “Hacia la solución de un problema en la doctrina de las probabilidades”, el cual fue publicado póstumamente por el Philosophical Transactions of the Royal Society.

En poco tiempo economistas, matemáticos, analistas e investigadores lo adoptaron como una técnica de probabilidad estadística. Es importante saber que su aplicación no se limita solo a los sectores de finanzas e inversión, ya que actualmente también es una herramienta clave para el aprendizaje automático y la inteligencia artificial.

En concreto, el teorema de Bayes se usa para el modelado predictivo, correlacionando los datos disponibles con un modelo para medir la distribución posterior, cuando se conocen la probabilidad y distribución previa. Los términos asociados con el teorema de Bayes son:

• Probabilidad condicional: se conoce como probabilidad condicional cuando la ocurrencia de un evento A depende de la ocurrencia de otro evento B.
• Probabilidad posterior: es la probabilidad condicional de que ocurra un evento con base en nueva información.
• Probabilidad previa: es la probabilidad de que ocurra un evento con base en información previa.
• Probabilidad conjunta: las posibilidades de que dos o más eventos ocurran simultáneamente.
• Variables aleatorias: el rango continuo de valores que denota el resultado de experimentos aleatorios.

Fórmula del teorema de Bayes

La fórmula para calcular el teorema de Bayes es:

• P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] ÷ P(B)

Donde:

• P(A|B) = la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B.
• P(B|A) = la probabilidad de que ocurra el evento B, dado que ha ocurrido el evento A.
• P(A) = la probabilidad del evento A.
• P(B) = la probabilidad del evento B.

Toma en cuenta que en esta fórmula, los eventos A y B son independientes, lo que quiere decir que la probabilidad del resultado del evento A no depende de la probabilidad del resultado del evento B y viceversa. Pero hay situaciones especiales donde el evento A es una variable binaria; es decir, que el evento puede dar como resultado uno de dos resultados, por ejemplo sí o no. En estos casos el teorema de Bayes se expresa de la siguiente forma:

• P(A|B) = [P(B|A) x P(A)] ÷ [P(B|A–) x P(A–)] + [P(B|A+) x (P(A+)]

Donde:

• P(B|A–) = probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A– ha ocurrido
• P(B|A+) = probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A+ ha ocurrido

En esta fórmula, los eventos A– y A+ son resultados binarios y mutuamente excluyentes del evento A.

Ejemplo del teorema de Bayes aplicado

Imagina que eres un analista financiero en un banco de inversión y de acuerdo a tu investigación de empresas que cotizan en la bolsa, el 60% de las que subieron el precio de sus acciones en más de un 5% en los últimos tres años reemplazaron a sus CEO durante el periodo.

Al mismo tiempo, solo el 35% de las empresas que no aumentaron el precio de sus acciones en más de un 5% en el mismo periodo reemplazaron a sus CEO. Sabiendo que la probabilidad de que los precios de las acciones crezcan en más de un 5% es del 4%, puedes usar el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que las acciones de una empresa que despide a su CEO aumenten en más de un 5%.

Pero antes de hacerlo debes encontrar las probabilidades y definir la notación de las mismas:

• P(A) = probabilidad de que el precio de las acciones aumente en un 5%.
• P(B) = probabilidad de que el CEO sea reemplazado.
• P(A|B) = probabilidad de que el precio de las acciones aumente en un 5% dado que el CEO ha sido reemplazado.
• P(B|A) = probabilidad de que el CEO sea reemplazado dado que el precio de las acciones ha aumentado en un 5%.

Usando la fórmula del teorema de Bayes, se puede obtener la probabilidad requerida. Así que la probabilidad de que las acciones de una empresa que reemplaza a su CEO crezcan más del 5% es del 6.67%.

¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes se aplica en diferentes campos con el fin de determinar la probabilidad de un evento, usando experiencias y evidencias pasadas. Estos análisis pueden ayudar a predecir resultados desfavorables y así las organizaciones pueden prepararse con medidas correctivas.

Es por esto que el teorema de Bayes se usa en filosofía, deportes, estadística, medicina, finanzas, humanidades, aprendizaje automático, ingeniería y derecho. Por ejemplo:

• Finanzas: se usa para determinar los riesgos y los retornos de una inversión, determinar las calificaciones crediticias.
• Medicina: se utiliza para determinar la precisión de los resultados de una prueba médica.
• Aprendizaje automático y la inteligencia artificial: se usa para detectar el correo basura y los fraudes con tarjetas de crédito.
• Apuestas deportivas: muchos algoritmos de predicción se basan en los resultados del teorema de Bayes.

Conclusiones

El teorema de Bayes es una herramienta poderosa para el análisis de probabilidades, permitiendo la actualización de conocimientos con base en nueva información. Su aplicación ha sido clave en múltiples disciplinas facilitando desde la evaluación de riesgos financieros hasta la detección de fraudes y enfermedades.

Gracias a su flexibilidad y precisión, el teorema de Bayes sigue siendo una referencia fundamental en la estadística y el aprendizaje automático, demostrando su valor en la toma de decisiones basada en datos. Su uso seguirá evolucionando conforme avanzan la tecnología y la ciencia de datos, ampliando su impacto en la vida cotidiana y en el ámbito profesional.

FAQs

¿Cómo funciona el teorema de Bayes dentro de las finanzas?

El teorema de Bayes funciona en muchas disciplinas y tiene una relevancia significativa en finanzas y negocios como en modelar el riesgo de prestar dinero a los prestatarios o pronosticar la probabilidad de la rentabilidad de una inversión, estimar la probabilidad de un cambio en las tasas de interés y cómo el cambio se reflejaría en la planificación financiera. También ayuda a predecir el ingreso neto de una empresa en función de la probabilidad de factores como el clima, eventos geopolíticos o un cambio en el costo de los materiales, y a calcular la probabilidad de eventos como inundaciones e incendios para determinar las primas de seguros.

¿Por qué se utiliza el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes ayuda a determinar la probabilidad de que suceda una cosa si algo relacionado sucede antes y se puede usar para probar la probabilidad de que una hipótesis se haga realidad en un experimento o una situación. Para predicciones aún más precisas, se pueden usar otros elementos de la teoría de la probabilidad junto con las inferencias bayesianas para determinar la probabilidad de que ocurran ciertos eventos.

¿Cómo usar el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes resuelve varios problemas en tiempo real en estadística, finanzas, aprendizaje automático, filosofía, deportes, medicina, derecho e ingeniería. Por ejemplo, el teorema de Bayes determina la probabilidad de que una fluctuación de la tasa de interés provoque cambios en el precio de las acciones.

Fuentes del artículo

• Britannica: Bayes’s theorem
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Bayes’ Theorem
• University of Washington: Bayes’ Theorem
• University College Dublin: Statistics: Bayes’ Theorem